شرح درس المتجهات

شرح درس المتجهات

مقدمة

يجب أولا أن نميز بين الكميات العددية والكميات المتجهة
الكميات العددية تحدد بقيمة عددية فقط . مثلاً :
عندما نقيس طول الغرفة ، نقول أن طولها 5 متر ونسكت ، فنحن لا نحتاج هنا لتحديد اتجاه لهذا الطول ، لأن العدد أعطانا المعلومة الكاملة عن طول الغرفة .
لكن الكميات المتجهة لا تكتفي عند تحديدها بقيمة عددية فقط وإنما تحتاج أيضا إلى اتجاه .

مثلاً : دفع سالم صندوق بقوة 4 نيوتن ،، إذا سكتنا هنا عند القيمة العددية ، فالمعلومة ستكون ناقصة ، لأننا لم نحدد في أي اتجاه دفع سالم هذا الصندوق ، ولو حاولنا رسم هذه القوة لن نستطيع ، لأننا لا نعرف في أي اتجاه تؤثر .
لذلك الأصح أن نقول : دفع سالم صندوق بقوة 4 نيوتن في اتجاه الغرب مثلاً ، وبهذا تكون المعلومة كافية ومعبرة .

أيضا لو طلبت منك أن إزاحة صندوق لمسافة متر واحد ، ولم أحدد لك اتجاه الإزاحة ، ففي هذه الحالة ستكون المعلومة ناقصة عكس لو قلت لك : أزح الصندوق متر واحد للشرق ، هنا تكون المعلومة كاملة وصحيحة .
لذلك نلاحظ أن القوة والإزاحة كميات متجهة ، تحتاج لقيمة واتجاه لتحديدها ، بينما المسافة والزمن والمساحة والقدرة والطاقة ...........الخ تعد كميات عددية لا تحتاج إلى اتجاه عند تحديدها وتكتفي بقيمتها العددية .

من الكميات المتجهة : القوة ، الإزاحة ، الموقع ، شدة المجال الكهربائي ، الدفع ، الوزن ، التسارع ، السرعة المتجهة

جمع وطرح المتجهات

في البداية يجب أن نفهم أن أي متجهة لو تم عكس اتجاهه فإن إشارته ستنعكس أيضا ً كما هو موضح في الصورة التالية :

وهذه الصورة توضح المعنى أيضاً :

عملية جمع المتجهات تسمى جمع اتجاهي ،، أي أنها تختف عن الجمع العددي ، كيف ؟؟؟
لو قطع سعيد مسافة 5 متر
في اتجاه الشرق ، ثم 3 متر جنوباً وأردنا أن نجمع المتجهان أي نحسب المحصلة
( الإزاحة ) فإننا نقوم برسم المتجهات كما توضحه الصورة :

من الشكل يتضح لنا أن مجموع المتجهين = 6 متر ،، لكن لو حسبنا عددياً مجموع المتجهين ( 5 + 3 ) سيكون الناتج 8 .
هذا ما أقصده أن الجمع الاتجاهي ( 6 متر ) يختلف عن الجمع العددي ( 8 متر ) .
الشكل يوضح أنه لو جمعنا المتجهين عددياً
فإننا سنتحصل على قيمة عددية وهي المسافة التي قطعها سعيد ، لكن لو جمعنا
المتجهين اتجاهياً فإننا سنتحصل على قيمة متجهة وهي الإزاحة .
لكن كيف يمكننا أن نطرح أحد المتجهين من الآخر ؟؟؟ العملية سهلة وهي أن نعكس اتجاه أحد المتجهين وبذلك يصبح سالب .

إيجاد محــــــــــــــــــصلة مجموعة متجهات

لو كان لدينا عدة متجهات ( أكثر من متجهين ) فكيف نقوم بجمعهم والتحصل على المحصلة ( الإزاحة ) ؟؟

مثال سلكت زينب مسافة 4 متر جنوباً ، ثم 2 متر جنوباً ، ثم 3 متر شمالاً .
أوجد الإزاحة ؟
في مسائل كهذه يمكننا الوصول للحل بطريقتين ،، الأولى بواسطة التعويض الحسابي ، والثانية بواسطة الرسم .
أولاً بالتعويض الحسابي :-

نحن نعلم أن الإزاحة كمية متجهة ، يعني لازم نجيب قيمتها واتجاهها .
حتى نجيب الاتجاه لازم نوحد المتجهات التي
لدينا في اتجاه واحد ، مثلاً نوحدها جميعها في اتجاه الجنوب ،، يعني كل
المتجهات نخليها متجهة للجنوب .
لكن ماذا نفعل بالمتجهة الذي اتجاهه للشمال ؟؟ نخلي اتجاهه للجنوب ونعكس إشارته . وبذلك يكون المتجه 3 متر شالاَ = -3 متر جنوباً .
ثم نجمع المتجهات بعد ما وحدنا اتجاهها :-
-3 جنوباً + 4 جنوباً + 2 جنوباً = 3 متر جنوباً .
وهكذا تحصلنا على قيمة الإزاحة واتجاهها .

لكن ماذا لو وحدنا المتجهات للشمال ؟ هل يصلح ؟
نعم هذا ممكن ، وبذلك نعكس أي متجهه للجنوب
ونغير إشارته ،، أي أن المتجه 4 متر جنوبا سيصبح -4 متر شمالا ، وكذلك
المتجه 2 متر جنوبا سيكون 2 متر شمالا ، ومن ثم نجمع المتجهات :
( -4 شمال ) + ( -2 شمال ) + 3 شمال = -3 شمال
نلاحظ أن الناتج ظهر لنا بالسالب ،، ما مشكلة
نخليه موجب لكن لازم نغير الاتجاه ، لأنه الاتجاه والإشارة متلازمتان ،،،
يعني بيكون المتجه في النهاية = 3 متر جنوب ،، وهو نفس الناتج في البداية .

ثانياً بالرسم :
نقوم برسم الشكل الذي يمثل حركة زينب :

نقوم برسم المتجه الذي يمثل
الإزاحة ، وهو يبدأ من نقطة البداية وينتهي عند نقطة النهاية ، ويمكننا من
الشكل أن نستنتج أن طوله 3 متر واتجاهه واضح أنه يتجه للجنوب .

أمثلة على جمع المتجهات

مثال 1 / تتحرك سعاد 5 متر جنوباً ، ثم تواصل حركتها 3 مرت جنوباً لتنعطف بعد ذلك 2 متر غرباً ثم 4 متر شمالاً ثم 2 متر شرقاً .

نلاحظ في هذه المسألة تعدد المتجهات واتجاهها
،، مثل هذه المسائل تحل بالرسم ،، حيث نقوم برسم متجهات الحركة ، ومن هذا
الرسم يمكننا التوصل للإزاحة .
الرسم التالي يوضح تحركات سعاد :

( ملاحظة الصور تقريبية )

يمكننا من الرسم التوصل وحساب الإزاحة ، حيث
أن الإزاحة هي المسافة من نقطة البداية إلى نقطة النهاية ، واتجاهها يكون
من نقطة البداية إلى الموقع الذي توقف عنده الشخص أو الجسم .
يتضح لنا من الرسم أن طول الإزاحة = 4 متر وأن اتجاهها جنوباً .

مثال 2 / قطعت سيارة مسافة 100 كيلومتر شمالاً ، ثم 15 كيلومتر شرقاً ومن ثم 30 كيلومتر شرقاً لتنعطف بعد ذلك 25 كيلومتر جنوباً .

أولاً نقوم برسم متجهات الحركة كالتالي :

طبعاً عندما نرسم المتجهات نأخذ مقياس رسم مناسب ، مثلاً في هذه المسألة المقياس الذي سنستخدمه هو 1 سم ـــــــــ 10 كم
أي أننا سنعوض عن كل 10 كيلومتر بـ 1 سنتيمتر ،، يعني الـ ذ100 كم ستصبح 10 سم و 15 كم = 1.5 سم وهكذا .............

من الرسم نقوم بقياس الإزاحة التي ستظهر لنا
وطبعاً كما تعودنا فإن اتجاه هذه الإزاحة يكون من نقطة البداية إلى نقطة
النهاية ، ونلاحظ من الرسم أن اتجاه الإزاحة هو شمال الشرق .

مثال 3/ تحرك جسم مسفة 7 متر غرباً ، ثم 5 متر شرقاً ثم مترين شرقاً .

نرسم المتجهات

طبعاً من الرسم نلاحظ أن الجسم تحرك من
نقطة ثم عاد إلى نفس هذه النقطة ، وبما أن الإزاحة هي أقل بعد بين نقطة
البداية والنهاية ، يتضح لنا من الرسم أن الإزاحة = صفر ، لأن النقطة التي
يتحرك منها الجسم يعود ويتوقف عندها ، لكن لو طلب في المسألة المسافة ،
فالمسافة = 14 متر .

مثال 4/ قطع محمد مسافة 5
متر غرباً في 8 ثوان ، ثم 2 متر جنوباً في 3 ثوان ، ثم 7 متر جنوباً في 12
ثانية ، ثم 5 متر شرقاً في 6 ثوان .
1- أوجد المسافة والإزاحة ؟
2- أوجد السرعة المتوسطة لمحمد ؟
3- أوجد السرعة المتجهة ؟
4- أين تكون سرعة محمد أكبر ، عندما يقطع 5 متر شرقاً ، أم 5 متر غرباً ؟

في البداية نرسم شكل الحركة كما يلي :

1- المسافة يسهل حسابها وهي تساوي 19 متر ( ولا نكتب أي اتجاه لأن المسافة كمية عددية ) .
أما الإزاحة فيمكن حسابها من الرسم وتوضيح اتجاهها ، ومن الرسم نرى أنها تساوي 9 متر جنوباً .

2- السرعة = المسافة \ الزمن ( الزمن بعد الجمع = 29 ثانية )
السرعة = 19 ÷ 29 = 0.66 متر \ الثانية .

3- السرعة المتجهة = الإزاحة ÷ الزمن .
= 9 ÷ 29 = 0.31 متر \ الثانية جنوباً
( اتجاه السرعة المتجهة هو نفس اتجاه الإزاحة )

4- محمد يقطع مسافة 5 متر شرقاً في 6 ثوان .
أي أن سرعته عندما يقطع هذه المسافة =
السرعة = 5 ÷ 6 = 0.83 متر\ الثانية
أما سرعته عندما يقطع 5 متر غرباً في 8 ثوان :
السرعة = 5 ÷ 8 = 0.62 متر\ الثانية .
أي أن سرعة محمد عندما يقطع 5 متر شرقاً ، أكبر من سرعته عند قطعه 5 متر غرباً .

روووووووووووووووووووووووووووووووعة

انتي الاررررررررررررررررررررررررووووووووع ^_^

» الفصل الأول ” المتجهات “
» حل سؤال .. ص6 + ص7 .. -المتجهات- الفصل الأول
» امتحان الفصل الأول ” المتجهات “