جمع المتجهات بالطريقة البيانية ( الرسم :- Polygon method
ان
حاصل جمع او محصلة متجهين A,B يمكن تمثيله بالمتجه C الناشىء من نقطة
ابتداء على نقطة انتهاء A وتوصيل نقطة ابتداء B بنقطة انتهاء A وعلية يكتب
كالاتي
C= B+A
ويسمى مجموع متجهين او اكثر بالمحصلة ( R ) ( resultant )
وتتم
عملية الجمع عن طريق توصيل راس المتجه الاول بذيل الثاني مع الاختر بنظر
الاعتبار القيمة والاتجاه وكنتيجة لوصل او ربط متجهين او اكثر يظر متجه
جديد يصرف بالمحصلة
( R ) وقيمة المحصلة هو عبارة عن المسافة بين اخر
راس واول ذيل مع ملاحظة ان اتجاه راس سهم متجه المحصلة يكون في اتجاه اخر
راس ثم وضعها
وتعتبر عملية جمع المتجهات عملية تبديليه أي ان :-
A+B= B+ A
ومن
البديهي انه ليس هناك اهمية للترتيب الذي نبدأ به عملية الجمع لعدة متجهات
طالما انها عملية تبديلية كما اوضحنا ولذلك يمكن البدء بجمع A,B اولا ثم C
واخيرا D او جمع CوD ثم نجمع B واخيرا A ويمكن للقارى ان يتاكد من ان
النتيجة لن تتغير ، فمثلا عندما يتحرك جسم مسافة 60 كم شرقا ثم 80 كم شمالا
فان الازاحة الكلية لهذا الجسم لن تتغير اذا كان قد تحرك هذا الجسم نحو
الشمال اولا مسافة 80 كم ثم نحو الشرق مسافة 60 كم وسيصل الى نفس الموضع
تماما .
مثال : يتحرك جسم مسافة 30 كم باتجاه الشرق ثم 40 كم باتجاه الشمال ما هي الإزاحة الكلية لهذا الجسم قيمة واتجاها ؟
الحل
: نوضح حركة الجسم بيانيا في الشكل ( 21 ) فنمثل الإزاحة الأولى بمتجه A
نحو الشرق يتناسب طوله مع 30 كم معتبرين كل ا سم تمثل 10 كم مثلا فيكون طول
A مساويا
( 3 سم ) بينما تمثل الازاحة الثانية بمتجه B نحو الشمال
ويتناسب طوله مع 40 كم أي يساوي ( 4 ) سم ونضع بداية B عند نهاية A ثم نصل
بين بداية A ونهاية B فنحصل على المتجه C المساوي الى حاصل جمع A+B ونلاحظ
من الشكل ان طول الوتر ac ) في المثلث القائم الزاويه (abc ) يساوي
Ac = ab+bc =5سم
فطول
C يساوي 5 سم وهذا يعادل مسافة مقدارها 50 كم واما اتجاهه فيمكن الحصول
علية عن طريق استخدام قانون ظل الزوايه للمثلث القائم الزواية (abc )
* ظل الزواية (a ) 1.33= 4 = bc
ac 3
* مقدار الزاوية 58 تقريبا لان ظل الزاوية 58 = 1033
جمع المتجهات بالطريقة التحليلية ( المركبات ) Omponents
هناك
وسيلة اخرى نعتبر اكثر دقه وكفاءة والتي تعتمد على العلاقات المثلثية في
ربط وصل المتجهات بمعنى ان أي متجه يمكن ان يحل بمعلومية النسب المثلثية
للمثلث القائم الزاوية وبما ان مجموع متجهتين هو قيمة ثالث ، لذلك يمكن
تحليل أي قيمة الى متجهتين هما Cx ,Cy ونكتب كالاتي :
C=CX+Cy
واذا اخترنا اتجاهي Cy ,Cx ليكونا متعامدين
عندئذ نكتب كالأتي :-
Cx المركبة الافقية = Ccoso
أي المركبة الافقية = جتا O× المحصلة ( الوتر )
جتا O = المجاور = Cx = CosO
الوتر C
Cyالمركبة العمورية = CsinO
أي المركبة العمورية = جاO × المحصلة ( الوتر )
حا O = المقابل Cy = SinO
الوتر C
ويطلق على Cx اسم المركبة السنية ( X-component )
وعلى Cy اسم المركبة الصادرية ( Y-component )
ويتضح مماتقدم ان المركبة الافقية ( Cx )
تساوي حاصل ضرب المحصلة في جيب تمام زاوية ميلها على المحور الافقي
جيب زاوية ميلها على المحور العمودي .
ويمكن تحليل أي متجه مثل ( C ) الذي يصنع زاوية مع الاحداث السيني الى مركبتين متمامدتين احدهما باتجاهما باتجاه محور
السينات ومقدارها = Cx= C cos O
والاخرى باتجاه محور الصادات ومقدارها = Cy= Csin O
وتسمى هذه المحاور منظومة محاور
Ortho gonal coor dinate system
ولغرض الحصول على طول قيمة ( C ) واتجاهه من مركبتيه نتبع الاتي :-
C = Cx2 + Cy2
أي اعتمادا على نظرية فيثاغورس :
اما الاتجاه فيمكن الحصول علية من القانون الاتي :-
أي ظل تالزاوية = المقابل tanO = Cy
المجاور C
مثال :-
فلو
فرضنا ان لاعب الوثب الطويل يترك لوحة بالنهوض بسرعة محصله مقدارها 9م /
ثا وبزاوية انطلاق مقدارها 18 مع الخط الافقي فانه يمكن رسم المثلث القائم
الزاويه حيث تمثل السرعه المحصله (r ) وتر هذا المثلث وتمثل كل من
المركبتين الافقية والعمودية الضلعين الافقي والعمودي للزاوية القائمة
قانون متوازي الأضلاع :
اذا
اثرت في النقطة A من جسم ما قوتان مختلفتان بمتجهتين AC AB اللذين يضعان
بينهما زاوية مقدارها ( a ) فان فعلهما يكافىء فعل قوة ممثلة بالمتجهه AD
الذي هو قطر متوازي الاضلاع المنشأ على المتجهين AC AB و تسمى القوة AD هنا
بمحصلة القوتين AD و AC و تسمى القوتان AC و AB بمكربتي القوة AD و بذلك
تكون المحصلة مكافئة لمركبتيها و بالعكس
وعليه ومن خلال ماتقدم
يمكن الحصول على مقدار محصلة قوتين مطبيقتين في النقطه من جسم ما وعلى
اتجاهها لمجموع هندسي لهاتين القونيين حيث يمكن الحصول على هذه المحصله
برسم المثلث AcD كما في الشكل بدلاً من رسم متوازي الاضلاع القوى وذلك بان
نرسم من نهاية المتجه AC المتجه CD الذي يساوي المستقيم او المتجه AB
ويوازيه فيكون AD الضلع الثالث للمثلث مساويا لمحصله المتجهين التي هي
موجهة عن A بداية المتجه الاول نحو D نهاية المتجه الثاني ويسمى المتجه AD
الذي حصلنا عليه بهذه الطريقه المجموع الهندسي للمتجهين CD,AC و اضافة الى
الطريقه التحليليه والبيانيه في تحليل روبط المتجهات وحجمها يمكن ايجاد
المحصله من خلال طريقة متوزاي الاضلاع حيث يتأثر جسم الانسان في بعض
الحالات باكثر من سرعه ولكن خط عملها ليس على خط عمل واحد ففي هذه الحاله
تكون السرعه بزاويه فاذا كانت الزاويه قائمه فيتم استخراج المحصله عن طريق
تطبيق نظرية فيتاغورس وكما تمت الاشاره اليها ولغرض الايضاح يمكن ملاحظة
المثال الاتي :_
قارب يحاول عبور نهر بسرعة 8 م / ثا وكان اتجاه تيار
الماء افقيا بسرعة 6 م / ثا احسب مقدار سرعة القارب النهائيه وما هو
مقدارها الزوايا التي يشكاها خط سيره مع الخط الافقي 8م/ثا
اتجاه القارب
اتجاه تيار الماء جـ 6 م / ثا أ
حيث يمكن تطبيق نظرية فيتاغورس وكالاتي :-
( أ د ) = ( أ ب ) + ( أ جـ )
م2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2
م 2 = 64 + 36
م2 = 100
م = 10م /ثا سرعة القارب النهائيه
ظا حأد = دح = 8 = 1033
* مقدار الزاويه = 53 تقريبا لان ظل الزوايه 53 = 103370
أضافة
الى ماتقدم نجد ان المحصله تتاثر بمقدار الزوايه الكائنه بين القونيين
فكلما كانت الزاوية صغيرة كان مقدار المحصله كبيرا واذا استمرت الزوايه بين
القونيين في الصفر حتى تبلغ الصفر عندئذ تكون المحصله باكبر قيمها وتساوي
المحجموع الجبري لهاتين القونين اما اذا كانت الزاويه بين القونين في زيادة
الى ان تصبح اكبر من قائمة ( 90 ) عندئذ تبدأ قيمة المحصله بالنقصانه الى
ان تبلغ الزوايه بين القونين ( 180 ) فأن قيمة المحصله تكون ناصفر قيمتها
وتساوي الفرق بين هاتين القونين وكما هو موضح في الشكل ( 27 )
الزاوية بينهما = ( 180 ) درجه الزاويه بينهما = ( صفر
م = ق1 ــ ق 2 م = ق1 + ق2
اضافه
الى ماتقدم فانه اذا كانت الزاويه اكبر او اصغر من ( 90 ) او بمعنى حاده
او منفرجه فان المحصله يمكن استخراجها برسم متوزاي الاضلاع وذلك من خلال
تعيين محصلة متجهين هما A و B اللذين يصفان بينهما زاويه مقدارها ( a )
كما
في الشل ( 28 ) ويرسم المتجهان A و B من نقطه واحده مثل ( d ) ويرسم
متوزاي الاضلاع الذي ضلعاه المتجاورات هما المتجهان A و B ، وقطر متوازي
الاضلاع C المار بنقطة تلاقي المتجهين ويمثل محصلة هذين المتجهين ونجد
مقداره من خلال العلاقه الاتية
C=A2 +B2 +2AB x COS0
ومن خلال
ماتم عرضه فانه كلما كانت الزاويه بين السرعتين صغيرة كانت المحصله اكبر
والعكس بالعكس فمن خلال القانون الاتي يمكننا حساب السرعه المحصله بناء على
مقدار الزاويه المحصوره بينهما كما في الشكل ( 29)
اما الاتجاه فيمكن حسابه من خلال القانون الاتي
ظا = 13 × حا
A + B × جتا O
مثال
:- احسب مقدار سرعة انطلاق جسم بلغت سرعته العموديه 6 م /ثا وسرعنه
الافقيه 2 م /ثا وكانت الزاويه بين هاتين السرعتين كالاتي :-
أ -30 ب – 60 ج -75 د 89
( م )2 = ( س1 ) 2 + ( س2 ) 2 + 2س1 × س2 × جتا 30
= ( 6 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2× 6 × 2 × جتا 30
= 36 + 4 + 24 × 0.8
م = 7.694 م / ثا
اما ظا = 6 × حا 30 = 3 = 041
2 + 6 × جتاO 7.16
* اتجاه المحصله هو 3 في عندما تكون الزاويه بين السرعتين هو 30
اما اذا اصبحت الزاويه 60 فان المحصله تساوي
(م 92 = ( 6 )2 + ( 2 ) 2 + 2 × 6 × 2 × جتا 60
= 36 + 4 + 24 × 050
= 40 = 12
= 52
م = 7021 م /ثا
اما ظا = 6× حا 60
2+ 6 × 050
= 5.16
5
= 1.032
= 46
* اتجاه المحصله هو 46 عندما تكون الزاويه بين السرعتين 60
اما اذا كبرت الزاويه الى 75 فان قيمة المحصله تكون
م 2 = ( 6 )2 + ( 2 ) 2 + 2 × 6 × 2 × جتا 75
= 36 + 4 + 24 × 0.25
= 40 +6
م = 46
م = 6.78 م /ثا
اما ظا الزاويه = 6 × حا 75
2 + 6 × جتا 75
= 6× 0.94 = 5.76
2 + 6 × 0.25 3.50
ظا = 1.64
= 58
* اتجاه المحصله هو 58 عندما تكون الزاويه بين السرعتين 75
اما اذا بلغت الزاويه في الكبر واصبحت 89 فان قيمة المحصله تكون كالاتي :-
م = (6) 2 + ( 2 ) 2 + 2 × 6 × 2 × جتا 89
= 36 + 4 + 24 × 0.0175
= 40 + 0.42
= 40.42
م = 6.35 م /ثا
اما ظا الزاويه = 6 × حا 89
2 + 6 × جتا 89
= 5.94
2.10
ظا = 2.82
= 71
* 71 هو اتجاه المحصله عندما تكون الزاويه بين السرعتين 89